La pressione idrostatica è definita come la forza esercitata da un fluido in quiete sull'unità di superficie con cui è in contatto normalmente a essa. Rivediamo innanzitutto il concetto di pressione. La pressione indica la forza esercitata per unità di superficie ed è definita dalla seguente formula:
\[P = \frac{F}{A}\,,\]dove \(F\) è la forza e \(A\) è la superficie su cui la forza è applicata. Con l'espressione "pressione idrostatica" si indica la pressione esercitata in un punto dalla colonna di fluido sovrastante.
La Legge di Stevino
La pressione idrostatica si calcola a partire dalla legge di Stevino, la quale afferma che la pressione esercitata da un fluido a una profondità \(h\) è pari al prodotto della densità \(\rho\) del fluido per l'accelerazione di gravità \(g\) per la profondità \(h\):
\[P = \rho g h\,.\]Questa pressione, dovuta soltanto alla colonna di liquido sovrastante, è detta pressione idrostatica. La legge di Stevino, formulata dall'ingegnere, fisico e matematico Simon Stevin, permette di calcolare la pressione a ogni profondità di una colonna di fluido conoscendo la densità del liquido.
Si tratta di un principio che vale per i fluidi incomprimibili, ovvero i liquidi. Il suo enunciato afferma che un fluido ideale in quiete è in grado di esercitare pressione su un corpo in base alla profondità a cui questo si trova. Al variare di questa quindi anche la pressione cambia, immaginando che il corpo si muova lungo una colonna d’acqua. Quando si parla di fluido ideale si intende che al suo interno le uniche forza che si possono esercitare sono di tipo pressorio.
Espressa come formula la legge di Stevino diventa P = ρgh o volendo essere più precisi visto che si parla di variazioni ΔP = ρgΔh. Per la precisione all’interno di questa equazione:
- h rappresenta la profondità a cui si trova il corpo considerato (e Δh la sua variazione). Si esprime in metri.
- g è l’accelerazione di gravità e il suo valore è 9,81 m/s². Anche mentre è immerso nel fluido infatti ogni corpo è comunque soggetto a questa forza che lo attira verso il basso.
- ρ è la densità del fluido. Quella dell’acqua distillata è pari a 1000 kg/m³. e quella dell’oceano di 1030 kg/m³. Dato che indichiamo la profondità in metri non usiamo più i grammi/cm³ ma ci rapportiamo ai metri cubi. Più è denso il liquido maggiore sarà la pressione che esercita.
Questo significa che la pressione aumenta con la profondità (aumenta cioè all'aumentare di \(h\)) e che si hanno delle superfici isobare (ovvero, a pressione costante) orizzontali. Poiché la pressione aumenta linearmente con la profondità, può essere espressa dalla seguente relazione:
\[ P = k h\,,\]con \(k= \rho g >0\). In un grafico pressione-profondità, questa relazione sarà rappresentata da una retta che passa per l'origine e ha un coefficiente angolare pari a \( \rho g \). In realtà, l'accelerazione di gravità \(g\) non è costante, ma varia al variare dalla distanza dal centro della Terra. Tuttavia, nelle nostre applicazioni, si può considerare costante.
Nel caso in cui vi siano due o più fluidi non mescolabili con densità differenti, la pressione idrostatica è data dalla somma delle pressioni causate dai diversi fluidi. Ad esempio, la pressione a una profondità \(h\) di un recipiente pieno d'acqua a contatto con l'atmosfera è data dalla seguente somma:
\[P = \rho g h + P_0\, ,\]dove \(P_0\) è la pressione esercitata dalla colonna d'aria sovrastante che coincide con la pressione atmosferica \(P_\mathrm{atm}= 101\,325 \, \mathrm{Pa}\) a livello del mare.
In questo caso, la relazione tra pressione e profondità è rappresentata dalla seguente espressione:
\[ P = k h + Q\,,\]dove l'intercetta \(Q\) coincide con \(P_0\).
Ricorda che \(h\) è la profondità e non l'altezza calcolata a partire dal fondo! In questo caso, \(h\), è la distanza tra la posizione del corpo immerso e la superficie del liquido. Quindi, se ci troviamo immersi in acqua a una profondità di \(4\, \mathrm{m}\), si avrà \(h = 4\, \mathrm{m}\), avendo considerato un sistema di riferimento in cui la quota \(h=0\) coincide con la superficie dell'acqua. Si distinguono, quindi, due casi:
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente chiuso a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h\).
- Su un corpo immerso in un fluido contenuto in un recipiente aperto a una profondità \(h\) agisce una pressione pari a \(P = \rho g h + P_0\). A livello del mare si ha \(P_0= P_\mathrm{atm}\), mentre a quote superiori si ha \(P_0 < P_\mathrm{atm}\).
Calcolare la Pressione Subacquea
Uno degli utilizzi pratici più importanti della legge di Stevino è quello di usarla per capire come prepararsi alle immersioni. Chiunque abbia mai fatto un corso da sub sa bene che la pressione a cui si è soggetti aumenta man mano che si va in profondità. E in base a questa si capisce come effettuare la decompressione prima di risalire in superficie.
Quando si va sotto acqua prima di tutto bisogna ricordarsi che sopra di noi rimane la pressione atmosferica, pari a 101.325 Pascal (Pa). Ad ogni profondità quindi al valore trovato dalla formula vista prima occorre sempre sommare anche quella dell’aria esterna che preme sul fluido.
Immaginiamo ora di immergerci con le bombole a 20 metri sotto il livello del mare. La profondità (h) la abbiamo, la densità dell’acqua salata sappiamo già che è 1030 kg/m³ e il valore di g è sempre di 9,81 m/s². Usiamo allora la formula della legge di Stevino per trovare la pressione facendo 20 m x 9,81 m/s² x 1030 kg/m³ = 202086 kg/ ms² (Pa). Vediamo che si tratta di un valore che è circa il doppio della pressione dell’aria esterna.
Di conseguenza possiamo ricavare che ogni 10 metri di profondità la pressione su un corpo immerso aumenta di un valore quasi uguale alla pressione atmosferica. Grazie a questa approssimazione si possono effettuare immersioni in sicurezza anche a decine di metri sotto la superficie, risalendo con delle soste programmate.
Esercizi sulla Legge di Stevino
Anche se le applicazioni maggiori di questa regola riguardano il calcolo della pressione nelle profondità degli specchi d’acqua e del mare non sono le uniche. Vediamo un paio di esempi partendo con un esercizio semplice: ho un serbatoio alto 1,2 metri, aperto e pieno di liquido, che sul fondo ha una pressione pari a 152.000 Pa (152 kPa) Qual è la densità del fluido contenuto?
Prima di tutto bisogna ricordarci che non possiamo usare la formula inversa della legge di Stevino con il valore di pressione riportato. Quella che troviamo sul fondo del serbatoio infatti comprende anche quella atmosferica. Dobbiamo perciò prima sottrarre il valore di 101.325 Pa dai 152 kPa presenti. Si ottiene perciò che la pressione esercitata solo dal liquido è di 50.675 Pascal.
A questo punto possiamo ricavare la densità dalla formula inversa ρ =ΔP/Δhg. Di conseguenza 50.675/9,81 x 1,2 = 4.304 kg/m³.
Passiamo adesso a un esercizio classico, quello dei sottomarini. Abbiamo un mezzo subacqueo che sta viaggiando a 3, 2 km di profondità sotto la superficie. A quale pressione è sottoposto?
Come già detto la densità dell’oceano è di 1030 kg/m³, ma dobbiamo convertire la profondità in metri per procedere (3,2 km = 3.200 metri). A questo punto possiamo calcolare la pressione esercitata dalla colonna d’acqua facendo 1030 x 3.200 x 9,81 = 32.333.760 Pascal (3,23 x 107 Pa). Bisogna inoltre sommare quella atmosferica, che porta il totale a 3,24 x 107.
Esercizi Aggiuntivi
Esercizio 1: Oblò di un Sottomarino
Un oblò di un sottomarino che si trova a \(20\, \mathrm{m}\) di profondità ha un diametro di \(40\, \mathrm{cm}\). Assumendo che la densità dell'acqua sia di \(1\,000\, \mathrm{kg}/{m}^2\), calcola la forza esercitata sull'oblò dall'esterno.
Applicando la legge di Stevino, la pressione esercitata alla profondità di \(20\, \mathrm{m}\) è pari a:
\[P = \rho g h + P_\mathrm{atm}= 1\,000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 20\, \mathrm{m} +101\,325 \, \mathrm{Pa} = 297\,325 \, \mathrm{Pa}\,. \]Calcoliamo ora la superficie dell'oblò, assumendo che sia circolare:
\[A = \pi r^2 = \pi (\frac{0,4 \, m}{2} )^2 = 0{,}1245 \, \mathrm{m}^2\,. \]Quindi, la forza esercitata dall'acqua sull'oblò sarà:
\[ F = P \cdot A = 297\,325\, \mathrm{Pa} \cdot 0{,}1245\, \mathrm{m}^2 \approx 3{,}7 \times 10^4 \, \mathrm{N}\,. \]Esercizio 2: Pompa Idraulica
Una pompa idraulica ha il compito di sollevare l'acqua fino all'altezza di \(100\, \mathrm{m}\). Quale pressione deve esercitare?
Per sollevare l'acqua fino a un'altezza \(h\) occorre applicare una pressione almeno pari alla pressione idrostatica prodotta da una colonna d'acqua alta \(h\). Questa pressione è data dalla legge di Stevino:
\[P_\mathrm{Stev} = \rho g h\]Quindi,
\[P= P_\mathrm{Stev} = 1000 \, \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 9{,}81 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \cdot 100 \, \mathrm{m} = 981\,000 \, \mathrm{Pa}\]La pressione minima che deve esercitare la pompa è di \( 981\,000\, \mathrm{Pa}\).
Un Semplice Esperimento
Per dimostrare la legge di Stevino nel pratico c’è un esperimento molto semplice da fare, adatto anche ai ragazzini. Serve solo avere a portata una bottiglia di plastica trasparente da uno o due litri, il più alta possibile, e un paio di forbici appuntite o un coltellino. Prima di tutto bisogna riempire la bottiglia, con acqua a cui va aggiunto colorante alimentare.
Una volta che la bottiglia è piena fino all’orlo e chiusa con il tappo si pratica due fori dello stesso diametro ad altezze diverse. Uno sulla metà superiore della bottiglia e uno verso il fondo, dopodiché basta osservare il flusso d’acqua. Da quello più alto l’acqua uscirà lentamente mentre da quello più in basso la gittata sarà maggiore come si potrà notare anche a occhio nudo.
Per dimostrare l’apporto della pressione atmosferica in profondità sarà sufficiente togliere il tappo mentre il liquido sta uscendo.
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