Il progetto delle infrastrutture idrauliche che interagiscono con gli alvei fluviali deve essere condotto adottando, nel novero delle variabili di progetto, quelle che sintetizzano le sollecitazioni che la corrente fluviale esercita sulla struttura. Per risolvere compiutamente il problema è necessario descrivere il moto della corrente. Al fine di ottenere tale descrizione, il fluido viene schematizzato come un mezzo continuo, inteso quindi come un aggregato di particelle fluide.
Ciascuna particella, situata quindi in un punto dello spazio, è caratterizzata dal proprio vettore velocità, che in generale è variabile nel tempo. Nelle applicazioni pratiche, tuttavia, risulta spesso più conveniente, anzichè studiare il vettore velocità per ogni particella fluida, definire un volume fisso rispetto al quale studiare, per ogni suo punto, il vettore velocità al variare del tempo. Questo approccio è detto euleriano.
E' utile ricordare che il campo di moto può essere compiutamente descritto, con una soluzione alternativa di tipo grafico, tracciando 3 famiglie di linee: la traiettoria, ovvero il luogo dei punti successivamente occupati da un'assegnata particella fluida, la linea di corrente o linea di flusso, che si riferisce ad un istante di tempo assegnato e che è la curva tale per cui il vettore velocità è ad essa tangente in ciascuno dei suoi punti, e la linea di emissione, ovvero il luogo dei punti che ad un istante temporale assegnato occupano le particelle precedentemente passate per un assegnato punto del campo di moto.
Poichè l'obiettivo è la descrizione di correnti fluviali, una prima approssimazione è quella di riferirsi allo studio della corrente, ovvero quel particolare campo di moto nel quale le traiettorie delle diverse particelle fluide hanno sensibilmente la stessa direzione. Immaginiamo ora di tagliare la corrente con una superficie che in ogni suo punto, e in un generico istante, risulti normale al vettore velocità nel punto stesso: detta superficie si definisce "sezione trasversale" della corrente. Si definisce portata di una corrente il volume di fluido che transita nell'unità di tempo attraverso un'assegnata sezione trasversale.
Una ulteriore semplificazione si ottiene riferendosi al caso della corrente gradualmente variata, o corrente lineare, che è caratterizzata da traiettorie delle particelle fluide sensibilmente rettilinee e parallele. E' importante sottolineare che non esiste alcuna analogia fra la definizione di moto vario precedentemente introdotta e la definizione di corrente gradualmente variata. La corrente gradualmente variata è caratterizzata da sezioni trasversali piane, sulle quali la pressione è distribuita in accordo alla legge idrostatica, ovvero: z + p/γ = cost dove z è l'altezza di un punto assegnato rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel punto stesso e γ è il peso specifico dell'acqua. Le correnti gradualmente variate presentano l'interessante proprietà che il vettore velocità è sensibilmente invariante nella sezione trasversale. Di conseguenza, queste correnti possono essere descritte con un modello monodimensionale, nel quale l'unica variabile spaziale indipendente è la coordinata che descrive la posizione della sezione trasversale considerata.
Le considerazioni di cui sopra mettono in evidenza che la corrente gradualmente variata deve essere descritta da due equazioni al fine di poter ricavare le due variabili incognite innanzi menzionate. In quanto segue, per collocarci nel contesto delle correnti fluviali, faremo esplicito ed esclusivo riferimento alle correnti a pelo libero, ovvero quelle correnti che hanno una parte del loro contorno, appunto chiamata pelo libero, a diretto contatto con l'atmosfera. Queste correnti sono soggette a pressioni ridotte, essendo le altezze di acqua limitate, e quindi vengono solitamente descritte assumendo che il fluido, ovvero l'acqua, sia incomprimibile.
Al fine di poter definire le due equazioni necessarie per descrivere il moto di una corrente a pelo libero è necessario fare riferimento ai principi della fisica, poichè stiamo trattando un fluido in movimento. Le leggi di Newton implicano la conservazione della quantità di moto della corrente. Nel caso delle correnti gradualmente variate, essendo direzione e verso del vettore velocità assegnate, la conservazione della quantità di moto è equivalente alla conservazione dell'energia della corrente.
Equazioni Fondamentali
Le due equazioni che descrivono il moto delle correnti gradualmente variate sono l'equazione di continuità e l'equazione di bilancio della quantità di moto.
Equazione di Continuità
L'equazione di bilancio di massa per una corrente è anche chiamata equazione di continuità:dove Q è la portata della corrente, s è l'ascissa fluviale, A è l'area della sezione trasversale ed s e t sono le coordinate, rispettivamente, spaziale e temporale.
Equazione di Bilancio della Quantità di Moto
La seconda equazione che utilizziamo per la descrizione delle correnti gradualmente variate è quindi l'equazione di bilancio della qualità di moto, che discende dalla seconda legge di Newton. Partiremo quindi dall'enunciato del Teorema di Bernouilli applicato alle correnti, che si può scrivere nella forma: "nella corrente di moto permanente di un fluido perfetto, pesante ed incomprimibile la potenza si conserva lungo le sezioni trasversali". Nel caso delle correnti gradualmente variate, si può semplificare l'enunciato affermando che l'energia totale della corrente (o carico totale) calcolata per la particella fluida che risiede nel baricentro della sezione trasversale, si conserva durante il moto.
L'equazione di Bernoulli si esprime come:
dove H rappresenta l'energia totale della corrente nella sezione trasversale per unità di peso del fluido, ed ha quindi le dimensioni di una lunghezza; v è la velocità della corrente nella sezione trasversale; z è la quota del baricentro della sezione trasversale rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, p è la pressione idrostatica nel baricentro della sezione, γ è il peso specifico dell'acqua e α è il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche, che tiene conto della reale distribuzione della velocità lungo la sezione trasversale.
L'equazione dinamica è scritta nelle incognite h (geometrica) e v (cinematica), mentre l'equazione di continuità è scritta nelle variabili A (geometrica) e Q (cinematica).
Energia Specifica
Facciamo ora riferimento ad una sezione trasversale di una corrente generica caratterizzata da portata Q, assumendo solo che la corrente stessa sia gradualmente variata e che le sezioni trasversali siano verticali, potendo il moto essere eventualmente vario oppure permanente, ed in alcuni casi anche uniforme.
Si definisce energia specifica il carico energetico E della sezione rispetto al fondo alveo.
E' immediato comprendere che, a parità di portata Q, la corrente può transitare nella sezione con diversi livelli di energia specifica al variare dell'altezza idrica, ovvero la sola quantità dalla quale l'energia dipende. Per altezza della corrente tendente a zero e tendente ad infinito, l'energia diverge, tendendo quindi ad assumere valore infinito.
Esiste quindi un valore di altezza d'acqua al quale corrisponde il minimo di energia.
Altezza Critica e Numero di Froude
Si può dimostrare che in condizioni critiche, ovvero quando la corrente transita con altezza d'acqua pari all'altezza critica, il numero di Froude della corrente assume valore unitario.
dove A è l'area della sezione trasversale e B è la larghezza del pelo libero nella sezione trasversale stessa. Peraltro, effettuando un bilancio di massa ed un bilancio di energia al passaggio di una piccola perturbazione (onda di bassa ampiezza) si ottiene che (g A/B)1/2 è proprio la velocità di propagazione della perturbazione stessa.
Ne consegue che per una corrente in stato supercritico, ovvero quando Fr > 1, la corrente è più veloce di piccole perturbazioni indotte, mentre in condizioni subcritiche, con Fr < 1, le piccole perturbazioni sono più veloci della corrente e possono quindi risalirla. Questa diversa peculiarità cinematica porta a fare una distinzione tecnica fra i due tipi di corrente.
La diversità fra i due tipi di corrente ha enorme importanza dal punto di vista tecnico. Infatti, per la corrente lenta le condizioni al contorno per l'integrazione delle equazioni di De Saint Venant vanno ricercate l'una a valle e l'altra a monte, mentre per la corrente veloce le condizioni al contorno vanno ricercate entrambe a monte. Viceversa, per una corrente lenta possono risalire verso monte o scendere verso valle in condizioni di moto vario, mentre in condizioni di moto permanente possono solo risalire verso monte.
Moto Uniforme
Annullando quindi tutte le derivate spaziali e temporali nelle equazioni di De Saint-Venant si ottiene che il moto uniforme è descritto dalla sola semplice equazione i = J . Infatti, le variabili caratteristiche della corrente rimangono due, ma la variabile cinematica, ovvero la portata, è invariante nello spazio e nel tempo ed è quindi data dalla condizione iniziale nella sezione di monte del tronco fluviale.
La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono. Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce).Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale. Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata.
Spinta di una Corrente
La spinta S esercitata da una corrente in movimento è data dalla somma della spinta idrostatica e della spinta idrodinamica. Per una sezione trasversale di forma qualunque si può scrivere S = γ A hg + ρ Q v , dove hg è l'altezza del baricentro della sezione trasversale rispetto al fondo alveo. Per una sezione rettangolare si può scrivere s = 1/2 γ h2 + ρ q v , ove s e q sono la spinta e la portata per unità di larghezza (q si dice anche portata specifica).
Si noti che la grandezza spinta totale ha le dimensioni di una forza.
Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.
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