Il torchio idraulico è un dispositivo basato sul principio di Pascal che si comporta come un amplificatore di forza. Esso è costituito da due piatti o superfici posti come stantuffo sopra un cilindro. Pertanto ogni cilindro possiede una superficie di appoggio diversa.
Il Principio di Pascal
Il principio di Pascal fu enunciato dal fisico e matematico Blaise Pascal nel 1653. L’enunciato di questa legge afferma che esercitando una pressione su un fluido questa si trasmetterà inalterata in qualsiasi punto, cioè con la stessa intensità in ogni direzione. Perché ciò avvenga il requisito fondamentale è che il fluido in questione si trovi all’interno di un contenitore, o meglio che risulti confinato in uno spazio ben preciso.
Il principio di Pascal descrive la seguente proprietà dei fluidi: una variazione di pressione in un punto del fluido si trasmette a ogni altro punto e sulle pareti del suo contenitore. Una variazione di pressione in qualsiasi punto di un fluido confinato si trasmette, invariata, a ogni punto del fluido.
La sua dimostrazione pratica avvenne nel 1647, quando Blaise Pascal decise di effettuare un esperimento sfruttando una botte di legno, un tubo di metallo e dell’acqua. Una volta inserito il tubo nella botte attraverso un foro largo quanto il suo diametro sulla base superiore iniziò a versare il liquido un po’ alla volta. Dopo un po’ la botte si ruppe a causa della pressione dell’acqua premeva sulle sue pareti.
La botte si spaccava senza che si creasse una sola crepa ma come se fosse scoppiato qualcosa all’interno. Come afferma il principio di Pascal quindi la pressione era uguale su ogni punto della superficie interna e non concentrata sul fondo. La dimostrazione però si può anche replicare “in piccolo” senza usare una botte ma con una semplice bottiglia di plastica piena d’acqua.
Sistemando la bottiglia piena al centro di una bacinella basta prendere un ago spesso e praticare dei piccoli fori lungo tutto il bordo. Da ciascuno di questi partirà un piccolo zampillo d’acqua, ma indipendentemente dal punto in cui è stato praticato il foro l’intensità del getto sarà uguale. Questo perché anche qui la pressione del liquido è uguale in tutti i punti della superficie.
Il Legame con la Legge di Stevino
Il principio di Pascal non è esprimibile con una formula perché esprime quella che è una proprietà intrinseca dei fluidi. Tuttavia spesso la si associa alla legge di Stevino, un’equazione fondamentale per lo studio dell’idrostatica. La sua funzione è quella di stabilire la pressione esercitata da un fluido su un corpo immerso a una data profondità.
La formula di Stevino per calcolare la pressione man mano che si scende in profondità in un fluido è p = ρgh. Nel dettaglio ρ indica la densità del fluido e varia a seconda della sua natura, g è l’accelerazione di gravità (9,81 m/s2) e h la profondità a cui ci si trova, espressa in metri.
Tuttavia su ogni fluido grava una pressione aggiuntiva, ovvero quella atmosferica (patm) equivalente a 1 bar. Di conseguenza bisogna riscrivere la formula precedente nel formato p = patm + ρgh. Secondo il principio di Pascal esercitando una pressione su un fluido questa si trasmette uguale in qualsiasi suo punto, perciò dovremo considerare patm sia sulla superficie che sul fondo di un lago o di un oceano.
Sul nostro pianeta vale 1 bar, ma se fossimo su Nettuno questa sarebbe diversa dato che l’atmosfera ha una composizione diversa. Considerare la pressione atmosferica nella legge di Stevino è dunque una conseguenza di quanto dimostrato da Blaise Pascal. Per chi pratica immersioni e nella progettazione di batiscafi e sottomarini è fondamentale tenerne conto per regolare la pressurizzazione interna oltre che la resistenza degli scafi.
Funzionamento del Torchio Idraulico
Il torchio idraulico è un'applicazione del principio di Pascal che consente di sollevare grandi pesi con forze relativamente piccole ed è usato nelle officine per sollevare le automobili. Pur restando sotto forma di enunciato anziché di formula, questo principio trova importanti applicazioni pratiche nella progettazione di alcune macchine. Tra queste c’è il torchio o elevatore idraulico, composto da due pistoni con sezioni diverse: una maggiore, che si indica con S2. e una più piccola denominata S1. Fra di loro i pistoni sono collegati da un tubo a U dove è presente un fluido, solitamente olio.
Il funzionamento del torchio idraulico è molto semplice. Si esercita una forza sul pistone con la sezione minore creandone una maggiore che consente di sollevare l’altro. La forza (F1) esercitata su S1 è direzionata verso il basso, mentre quella (F2) su S2 verso l’alto. Dividendo F1 e F2 per le rispettivi superfici dei pistoni troviamo p1 e p2, e secondo il principio di Pascal le due pressioni si equivalgono (p1 = p2).
Possiamo perciò scrivere che F1/ S1 = F2/ S2. Dato che forza e superficie sono inversamente proporzionali più si amplia la sezione S2 minore sarà la forza F1 da applicare per sollevare il pistone con il carico. Nella maggior parte dei casi le sezioni S1 e S2 sono circolari quindi basta conoscere il loro raggio per ricavarle.
Quando si usa il torchio la forza da vincere per riuscire a sollevare il pistone di sezione S2 è un peso, come un’auto o un tir, infatti è molto utilizzato all’interno delle officine. Per calcolarla quindi si moltiplica la sua massa in chilogrammi per l’accelerazione di gravità g, che vale 9,81 m/s².
In un sollevatore (o torchio) idraulico la superficie del pistone più piccolo è ⅒ di quella del pistone più grande. Affinché il torchio idraulico funzioni, il liquido contenuto nel primo cilindro deve passare al secondo cilindro senza comprimersi. Il liquido contenuto nei cilindri deve quindi essere incomprimibile.
Formula del Torchio Idraulico
Chiamando \(S_1\) e \(S_2\), rispettivamente, le superfici dei cilindri C1 e C2, e uguagliando le due pressioni applicate sui due pistoni, \(P_1 = \frac{F_1}{S_1} \) e \(P_2= \frac{F_2}{S_2}\), si ottiene la condizione di equilibrio:
\( \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\)
da cui ricaviamo
\( F_2= F_1 \, \frac{S_2}{S_1} \, .\)
La forza \(F_2\) trasmessa a C2 è quindi pari alla forza \(F_1\) applicata a C1 moltiplicata per il rapporto delle due aree. Pertanto, se \( S_1 < S_2\), si ha \( F_2 >F_1\). Per esempio, se \(S_2 = 10 \, S_1\), si ha \(F_2 = 10 \, F_1\) , ovvero, la forza trasmessa è 10 volte superiore alla forza applicata \(F_1\)!
Esempio Pratico
Vediamo ora un caso pratico. Supponiamo di avere una di queste macchine composta da due cilindri. Uno con un raggio di 0,5 m e l’altro con un raggio pari a sei volte tanto. Che forza dovrò applicare sul primo cilindro per riuscire a sollevare una moto di 180 kg posizionata sul secondo?
Iniziamo trovando l’area delle due superfici di appoggio. Le troviamo con la formula πr², quindi S1 è pari a 0,785 m² mentre la seconda risulta di 28,26 m². Ci manca F2 per avere tutti i dati, e la troviamo moltiplicando la mazza della moto per g, ossia 180 x 9,81 = 1765 Newton. A questo punto dobbiamo solo sostituire i valori che abbiamo nella formula F1/ S1 = F2/ S2.
Quindi F1 = S1 x F2/ S2 = 49,05 Newton.
Esercizio Risolto
Un torchio idraulico è costituito da due cilindri uno con area di appoggio di \(0{,}05 \, \mathrm{m}^2\) e l'altro con area maggiore. Se una forza applicata sul primo cilindro è di \(200 \, \mathrm{N}\) produce una forza di \(16 \,000 \, \mathrm{N}\) sul secondo, determina la superficie di appoggio del secondo cilindro.
Dalla relazione
\( \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\)
ricaviamo:
\( S_2 = S_1 \, \frac{F_2}{F_1} \, .\)
Inserendo i dati otteniamo:
\( S_2 =( 0{,}05 \, \mathrm{m}^2) \frac{16000 \, \mathrm{N}}{200 \, \mathrm{N}} = 4 \, \mathrm{m}^2\)
Supponiamo di avere un torchio idraulico costituito da un cilindro con superficie di appoggio di \(0{,}01 \, \mathrm{m}^2\) e da un secondo cilindro, più grande, con superficie di appoggio di \(2 \, \mathrm{m}^2\). Se dobbiamo sollevare un'auto di \(1500 \, \mathrm{kg}\), quale forza è necessario applicare al primo pistone?
Calcoliamo inannzitutto la forza \(F_2\). Poiché deve sollevare l'auto, deve essere almeno pari alla forza peso: \(F_2 = mg= 1500 \, \mathrm{kg} \, (9{,}81 \, \mathrm{m} \, \mathrm{s^{-2}}) = 14\,715 \, \mathrm{N} \)
Scriviamo nuovamente la relazione
\( \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \,.\)
da cui possiamo calcolare la nostra incognita \(F_1\):
\( F_1= F_2\, \frac{S_1}{S_2} \, .\)
Inserendo i dati otteniamo:
\( F_1 = 14\,715 \, \mathrm{N} \, \frac{0,01 \, \mathrm{m}^2}{2 \, \mathrm{m}^2} = 73{,}575 \, \mathrm{N} \)
È necessario quindi applicare una forza di almeno \(73{,}575 \, \mathrm{N}\).
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