Il torchio idraulico è una leva vantaggiosa che sfrutta l'incomprimibilità dei liquidi per sollevare pesi elevati mediante l'applicazione di forze decisamente minori. Questa macchina è un'applicazione pratica del principio di Pascal, consentendo di sollevare grandi pesi con forze relativamente piccole.
Principio di Pascal: Enunciato e Fondamenti
Il principio di Pascal fu enunciato dal fisico e matematico Blaise Pascal nel 1653. Questo principio descrive la seguente proprietà dei fluidi: una variazione di pressione in un punto del fluido si trasmette a ogni altro punto e sulle pareti del suo contenitore.
Una variazione di pressione in qualsiasi punto di un fluido confinato si trasmette, invariata, a ogni punto del fluido. Per capire meglio questo principio, consideriamo il seguente esempio: riempiamo un contenitore d'acqua e posizioniamo un pistone mobile sulla superficie. Premendo il pistone sulla superficie, la pressione aumenterà in ogni punto del fluido. Questo aumento potrebbe addirittura provocare la rottura delle pareti del contenitore! In altre parole, l'aumento di pressione non rimane confinato alla superficie a diretto contatto con il pistone.
Avrai sicuramente notato che quando si preme un tubo di dentifricio dal fondo, il contenuto esce dall'apertura. Ti sei mai chiesto cosa accade quando esercitiamo una pressione in un punto qualunque di un fluido? Come viene trasmessa questa pressione agli altri punti del fluido e sulle pareti che lo contiene? Questi comportamenti sono spiegati dal principio (o legge) di Pascal.
Struttura e Funzionamento del Torchio Idraulico
Il torchio idraulico (detto anche "leva idraulica") è un'applicazione del principio di Pascal che consente di sollevare grandi pesi con forze relativamente piccole ed è usato nelle officine per sollevare le automobili. L'esemplare è costituito da una base di legno su cui sono fissati due cilindri metallici di sezione differente, dotati di pistone e collegati da un tubicino a tenuta contenente un liquido (solitamente un olio). Il tubicino è interrotto a metà da un piccolo serbatoio per aggiungere l'olio. Il primo cilindro ha diametro di 8cm, il secondo cilindro ha diametro 2cm. Il cilindro più piccolo può essere abbassato mediante un dispositivo a leva di colore scuro. Sul cilindro più grande va posto l'oggetto da sollevare.
Il torchio idraulico è costituito da due cilindri collegati tra loro, C1 e C2, contenenti liquido e da due pistoni mobili come mostrato nella figura sottostante.
Il funzionamento è basato sul principio di Pascal, secondo cui la pressione esercitata su uno dei due pistoni si trasmette integralmente in tutto il liquido e quindi anche all'altro pistone. Se sullo stantuffo di sezione minore S1 si esercita una forza costante FM (forza motrice), si trasmette al liquido una pressione p = FM/ S1 che si propaga lungo il tubo fino a raggiungere il secondo pistone.
Esso, quindi, tende a salire subendo dal liquido una forza FR=p · S2 = (FM/S1) · S2.= FM · (S2/S1) , cioè la forza FM viene amplificata di un fattore S2/S1 pari al rapporto fra le superfici dei due pistoni. Ad esempio: se il primo pistone ha una superficie di 1cm2 e quella del secondo una superficie di 1dm2 la forza viene amplificata 100 volte.
La pressione esercitata dal pistone più piccolo attraverso la forza F1 si trasmette al pistone grande per il principio di Pascal. Chiamando \(S_1\) e \(S_2\), rispettivamente, le superfici dei cilindri C1 e C2, e uguagliando le due pressioni applicate sui due pistoni, \(P_1 = \frac{F_1}{S_1} \) e \(P_2= \frac{F_2}{S_2}\), si ottiene la condizione di equilibrio:
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\]da cui ricaviamo
\[ F_2= F_1 \, \frac{S_2}{S_1} \, .\]La forza \(F_2\) trasmessa a C2 è quindi pari alla forza \(F_1\) applicata a C1 moltiplicata per il rapporto delle due aree. Pertanto, se \( S_1 < S_2\), si ha \( F_2 >F_1\). Per esempio, se \(S_2 = 10 \, S_1\), si ha \(F_2 = 10 \, F_1\) , ovvero, la forza trasmessa è 10 volte superiore alla forza applicata \(F_1\)!
Affinché il torchio idraulico funzioni, il liquido contenuto nel primo cilindro deve passare al secondo cilindro senza comprimersi. Il liquido contenuto nei cilindri deve quindi essere incomprimibile.
Questa semplice simulazione permette di apprezzare l’applicazione del principio di Pascal riguardante l’intervento di una pressione esterna su un fluido presente in un sistema chiuso. Il principio afferma che la pressione esercitata dall’esterno agisce in egual misura su tutto il sistema. La differenza di sezione di due cilindri permette di sfruttare questo principio per sollevare una massa imponente applicando sul pistone del cilindro più piccolo una forza molto meno intensa. Partendo dal presupposto che la pressione, ovvero il rapporto tra Forza e Area della superficie soggetta alla forza si conserva costante.
Pertanto a una forza molto intensa, come può essere il peso di un’auto che preme su un’altrettanto vasta superficie, si oppone nell’altro cilindro, di piccola sezione, una forza meno intensa. Per intenderci supponiamo di avere due cilindri che hanno rispettivamente sezioni di area 2 e 10 metri quadrati e sul più grande vi è una forza premente di 100 newton. Per far sollevare il peso di 100 newton basterà far agire sul pistone del piccolo cilindro una forza di soli 20 newton.
Esercizi sul Principio di Pascal
Vediamo ora alcuni esercizi per capire meglio il funzionamento del torchio idraulico!
Esercizio 1: Un torchio idraulico è costituito da due cilindri uno con area di appoggio di \(0{,}05 \, \mathrm{m}^2\) e l'altro con area maggiore. Se una forza applicata sul primo cilindro è di \(200 \, \mathrm{N}\) produce una forza di \(16 \,000 \, \mathrm{N}\) sul secondo, determina la superficie di appoggio del secondo cilindro.
Dalla relazione
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \, ,\]ricaviamo:
\[ S_2 = S_1 \, \frac{F_2}{F_1} \, .\]Inserendo i dati otteniamo:
\[ S_2 =( 0{,}05 \, \mathrm{m}^2) \frac{16000 \, \mathrm{N}}{200 \, \mathrm{N}} = 4 \, \mathrm{m}^2\]Esercizio 2: Supponiamo di avere un torchio idraulico costituito da un cilindro con superficie di appoggio di \(0{,}01 \, \mathrm{m}^2\) e da un secondo cilindro, più grande, con superficie di appoggio di \(2 \, \mathrm{m}^2\). Se dobbiamo sollevare un'auto di \(1500 \, \mathrm{kg}\), quale forza è necessario applicare al primo pistone?
Calcoliamo inannzitutto la forza \(F_2\). Poiché deve sollevare l'auto, deve essere almeno pari alla forza peso: \(F_2 = mg= 1500 \, \mathrm{kg} \, (9{,}81 \, \mathrm{m} \, \mathrm{s^{-2}}) = 14\,715 \, \mathrm{N} \)
Scriviamo nuovamente la relazione
\[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \,.\]da cui possiamo calcolare la nostra incognita \(F_1\):
\[ F_1= F_2\, \frac{S_1}{S_2} \, .\]Inserendo i dati otteniamo:
\[ F_1 = 14\,715 \, \mathrm{N} \, \frac{0,01 \, \mathrm{m}^2}{2 \, \mathrm{m}^2} = 73{,}575 \, \mathrm{N} \]È necessario quindi applicare una forza di almeno \(73{,}575 \, \mathrm{N}\).
Il legame con la legge di Stevino
Il principio di Pascal non è esprimibile con una formula perché esprime quella che è una proprietà intrinseca dei fluidi. Tuttavia spesso la si associa alla legge di Stevino, un’equazione fondamentale per lo studio dell’idrostatica.
La sua funzione è quella di stabilire la pressione esercitata da un fluido su un corpo immerso a una data profondità. La formula di Stevino per calcolare la pressione man mano che si scende in profondità in un fluido è p = ρgh. Nel dettaglio ρ indica la densità del fluido e varia a seconda della sua natura, g è l’accelerazione di gravità (9,81 m/s2) e h la profondità a cui ci si trova, espressa in metri.
Tuttavia su ogni fluido grava una pressione aggiuntiva, ovvero quella atmosferica (patm) equivalente a 1 bar. Di conseguenza bisogna riscrivere la formula precedente nel formato p = patm + ρgh. Secondo il principio di Pascal esercitando una pressione su un fluido questa si trasmette uguale in qualsiasi suo punto, perciò dovremo considerare patm sia sulla superficie che sul fondo di un lago o di un oceano.
Sul nostro pianeta vale 1 bar, ma se fossimo su Nettuno questa sarebbe diversa dato che l’atmosfera ha una composizione diversa. Considerare la pressione atmosferica nella legge di Stevino è dunque una conseguenza di quanto dimostrato da Blaise Pascal. Per chi pratica immersioni e nella progettazione di batiscafi e sottomarini è fondamentale tenerne conto per regolare la pressurizzazione interna oltre che la resistenza degli scafi.
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