La scienza delle costruzioni idrauliche studia l'equilibrio dei corpi rigidi, a prescindere dalle deformazioni. L'equilibrio si definisce come l'assenza di movimento, sia in termini di spostamento orizzontale e verticale, sia di rotazione attorno a un punto.

Esiste un rapporto di causa-effetto dove una forza (fx, fy) o un momento (m(g)) producono spostamenti (dx, dy) o rotazioni (dϕ). In termini di gradi di libertà (GL), si ha GL=3.

Su una struttura agiscono sempre dei carichi. Per impedire il movimento della struttura, si utilizzano i vincoli.

I sistemi di vettori si fanno equilibrio quando i momenti sono equivalenti e quindi sono sulla stessa retta d'azione (asse centrale).

Condizioni di Equilibrio del Corpo Rigido nel Piano

Le condizioni di equilibrio del corpo rigido nel piano possono essere riassunte come segue:

  • Sistema equilibrante: R(c) = - R(n) e m(o)(c) = - m(o)(n)
  • R(c) + R(n) = 0
  • m(o)(c) + m(o)(n) = 0

Un sistema di vettori è nullo quando azzera tutte le forze e i momenti:

  • R($) = 0
  • m(o)($) = 0

Equazioni Cardinali della Statica

Le equazioni cardinali della statica esprimono l'equilibrio in termini di forze e momenti:

  • R = 0
  • m = 0

È possibile scrivere R in componenti rispetto all'asse x e rispetto all'asse y:

  • Rx = 0
  • Ry = 0
  • ∑ifix = 0
  • ∑ifiy = 0
  • ∑im(i) = 0

Procedimento Generale

  1. Interpretazione dispositivi interni
  2. Interpretazione della struttura
  3. Equazioni di equilibrio
  4. Incognite statiche
  5. Metodo EQ. Ausiliarie
  6. Sconnessione
  7. 1 solo corpo n = 1
  8. 3 + Gs = GL
  9. Reazioni dei vincoli esterni Gve

Modello Strutturale

Un modello strutturale è definito da:

  • Geometria
  • Materiale
  • Carichi
  • Vincoli

Il calcolo delle reazioni dei vincoli si basa sulle condizioni di equilibrio descritte in precedenza.

Studio delle Caratteristiche di Sollecitazione (Sforzi Interni)

  • Forza normale (N): positiva se provoca trazione (allungamento del corpo)
  • Sforzo di taglio (T): positivo se provoca rotazione oraria
  • Momento flettente (M): positivo se allunga le fibre a destra del verso di percorrenza

Convenzione da Utilizzare

Consideriamo un tratto AB (0 ≤ x ≤ l):

Σ fix = - 5/8 qe + qx + T(x) = 0Σ fiy = N(x) = 0Σ ms1 = - 5/8 qe∙l∙x - qx ∙x/2 + M(x) = 0

Da cui:

  • T(x) = -qx + 5/8 qe (Funzione lineare)
  • N(x) = 0 (Funzione costante)
  • M(x) = -qx2/2 + 5/8 qex (Funzione parabolica)

Consideriamo un tratto BD (0 ≤ x ≤ l):

Σ fix = - 5/8 qe + q + N(x) = 0Σ fiy = -qx - T(x) = 0Σ ms2 = - 5/8 qe∙l∙t + qe∙l∙x/2 + qx∙x/2 + M(x) = 0

Da cui:

  • N(x) = - 3/8 qe (Funzione costante)
  • T(x) = - q (Funzione lineare)
  • M(x) = -qx2 + q2 (Funzione parabolica)

Laminazione Ottimale

La laminazione ottimale si ottiene quando la portata uscente è costante durante la fase di colmo. Questo concetto astratto può essere avvicinato agendo sulle luci di fondo sufficientemente ampie e regolando la luce stessa attraverso organi mobili come paratoie.

Evento Critico per il Volume

L'evento critico è quello che, muovendosi lungo una curva di possibilità climatica, dà luogo al massimo effetto in termini di portata e volume.

Per ricavare l'evento critico per il volume, si utilizzano i concetti della laminazione ottimale e si cerca la durata critica. Il modello matematico calcola la portata di pioggia netta in funzione del tempo e determina il volume di superamento della soglia di portata Q* per ogni evento.

Metodi per identificare l'evento critico:

  1. Metodo dei tentativi: si estrae l'intensità di pioggia da una curva climatica e si utilizza un modello matematico per calcolare la portata di pioggia netta in funzione del tempo.
  2. Metodo analitico: si costruisce la portata di pioggia netta in funzione del tempo utilizzando la curva di possibilità climatica e la curva di intensità in funzione del tempo di ritorno.

L'obiettivo è identificare l'evento che genera il massimo volume dell'idrogramma, ovvero il volume di superamento della soglia Q* che genera condizioni di pericolo a valle del serbatoio.

Determinazione della Durata Critica θ* e del Volume Massimo d'Invaso Wmax

La durata critica θ* può essere determinata analiticamente o graficamente. Si esprime matematicamente la condizione di massimo, derivando la differenza rispetto a θ. Successivamente, si sostituisce θ* nella formula del volume invasato per ricavare il volume massimo d'invaso Wmax.

Graficamente, si può considerare il volume d'invaso diviso l'area del bacino A e disegnare la curva di possibilità climatica. Moltiplicando questa curva per il coefficiente di deflusso, si ottiene una seconda curva. Infine, si rappresenta sul piano il comportamento Q * θ / A, che è una retta uscente dall'origine.

Si calcola come somma di area del rettangolo più l'area dei due triangoli. A questo punto conviene adimensionalizzare il risultato, quindi divido tutto per la portata critica sapendo che questa vale: Q =a·ϕ·A· T , allora ottengo:

Moltiplico e divido l'ultimo elemento per T:

A questo punto definisco le seguenti quantità adimensionali, pongo il rapporto tra il teta critico θ* e il tempo wT uguale a y, e il rapporto di laminazione tra Q e Q uguale a η (eta):

Posso riscrivere l'equazione come:

Il valore della durata critica θ* che consente di stimare il volume massimo è ricavabile graficamente in funzione del rapporto di laminazione, del coefficiente n e del tempo di corrivazione T:

Fissato η e un certo n (curva in rosso), si ricava il valore di y(η), da cui si ricava poi la durata critica θ*.

Parametro Descrizione
θ* Durata critica per l'invaso di laminazione
Wmax Volume massimo d'invaso
Q* Portata critica
η Rapporto di laminazione (Q/Q*)
y Rapporto adimensionale (θ*/T)
T Tempo di corrivazione

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