Il metodo di Cross è uno strumento fondamentale nell'analisi delle reti idrauliche, che rappresentano un sistema complesso di condotte progettate per il trasporto di fluidi da una o più sorgenti ad uno o più punti in cui il fluido viene utilizzato (utenze). Questo sistema implica un trasporto di massa, abbinato al trasporto di energia, che viene ceduta alle utenze, a parte le perdite termiche durante il percorso. L'energia idraulica è anche quella necessaria al sollevamento del fluido, sfruttando un dislivello favorevole o la presenza di una pompa.
Lo sviluppo geometrico di una rete può variare con il calcolo. È rappresentata come in figura. Il numero dei rami (NR) è legato al numero dei nodi (NN) dalla relazione: NN = NR + 1.
Componenti di una Rete Idraulica
Per comprendere appieno il metodo di Cross, è essenziale definire alcuni concetti chiave:
- Ramo: Un tratto rettilineo avente un nodo iniziale ed un nodo finale. Un ramo può comprendere più tratti consecutivi.
- Percorso Idraulico: Il percorso che i rami creano tra l'alimentazione e l'utenza.
- Anello: Una rete ad anello in cui non possono essere presenti altri rami della rete tra l'anello ed il resto della rete.
- Ramo di Alimentazione: Il ramo o i rami in cui il fluido affluisce alla rete.
- Ramo di Derivazione: Verso l’uscita.
Funzionamento del Metodo di Cross
Il metodo di Cross si basa su principi fluidodinamici e consente di determinare le portate e le perdite di carico in una rete idraulica complessa. La relazione tra pressione e perdite di carico è fondamentale in questo contesto. Il metodo considera la congruenza delle portate ai nodi e le equazioni energetiche, ossia il teorema di Bernoulli applicato al percorso.
Fondamentale è individuare i percorsi idraulici di alimentazione. Nell'anello, come in figura 11, ci sono due differenti percorsi. In corrispondenza di ciascuno nodo ci sono rami, a parte il precedente. La portata nominale dell'utenza viene divisa per il numero dei percorsi. Durante questa operazione, alcuni rami possono avere versi opposti a quelli iniziali, confluente ai nodi. Una volta identificati i percorsi idraulici facenti capo alle utenze, vengono determinate le portate iniziali. Il metodo permette di calcolare le portate reali a partire da quelle nominali, rispettando le equazioni di congruenza ai nodi. La somma delle portate entranti al nodo deve essere uguale a quella del nodo caratterizzante l'utenza (le portate entranti al nodo sono positive, quelle uscenti negative).
Le condizioni imposte vengono chiamate nominali e riguardano le portate dei rami e i loro diametri. La relazione dell'elemento idraulico a valle del nodo e generalmente quella della maglia chiusa formata dai rami 2,3,4,5,6, per un totale di 9. Le perdite o prevalenze sono misurate in mm H2O. K è il coefficiente caratteristico dell’idrante (in questo caso K=80).
Utenze Attive e Disattive
La scelta della modalità di calcolo (attiva o disattiva) per un'utenza influenza la rete. Se un'utenza è disattivata, la rete non comprenderà i percorsi facenti capo alle utenze non attive. La modifica avviene in conseguenza del calcolo. Un'utenza può essere aperta al ramo di alimentazione oppure direttamente all'anello.
Iterazioni e Convergenza
Il metodo di Cross è un metodo iterativo. In [2], si modifica il metodo di Cross originario. Il termine 0,5 viene modificato con 0,15. La perdita relativa sarà positiva o negativa a seconda del verso rispetto a quello iniziale. Per garantire la convergenza del metodo, è cruciale monitorare le perdite di carico. Valori eccessivi potrebbero determinare una instabilità del calcolo. Viene definita la curva caratteristica dell’idrante negativa.
Le tabelle 3 e 4 mostrano i risultati finali delle portate.
Esempi di Percorsi Idraulici
Consideriamo alcuni esempi per illustrare come identificare i percorsi idraulici:
- Il percorso 1 è formato dai rami 1, 2, 3, 4, 5, 7.
- Il percorso relativo è composto dai rami: 8+7+5+1.
- Il percorso relativo è formato dai rami: 8+2+1.
L’insieme dei rami 9+7+5 fa parte del montante 1. Il ramo 1 è quindi un ramo di uscita. La sottorete S4 ha il ramo di uscita 2 e S1 ha il ramo di uscita 8. Consideriamo l’utenza relativa al nodo 19. L’insieme di rami 18+19+20 e simili rappresentano una derivazione chiusa. La prima utenza fittizia, fino al nodo 7, è composta dai rami: 21+2+18+19+20.
Il nodo 2 è un punto triplo, il nodo 8 non lo è. Ripartendo dal nodo 2 si considera ora il ramo 6. Al nodo 7 convergono le maglie 2,4,5.
Considerazioni sulle Portate Effettive
In una rete alimentata da una o più alimentazioni con un contributo diverso, occorre stabilire quali sono i percorsi effettivi. Ad esempio, al ramo 5 arriva solo la portata = 22.57 - 5.928 = 16.64.
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