Nella fluidodinamica e nella fisica in generale, ci si riferisce spesso ad alcuni principi fondamentali su cui si basano le leggi di comportamento utilizzate. A partire da uno di questi principi è possibile ricavare il teorema di Bernoulli, che risulta alla base di qualsiasi ragionamento nell’ambito della fluidodinamica. Il principio afferma che la quantità totale di pressione di un fluido, data dalla sua pressione, dalla sua velocità e dalla quantità potenziale (dovuta alla sua posizione in quota) si conserva. In questo modo viene individuata una costante nel moto dei fluidi ideali. Tutti questi elementi sono messi in relazione tra loro in un tubo con sezioni e altezze diverse.
Enunciato del Teorema di Bernoulli
Il teorema di Bernoulli deriva dalla legge di conservazione della quantità di moto.
Esso può essere espresso matematicamente come:
£$p + \frac{1}{2}\cdot\varrho\cdot V^{2}+\varrho\cdot g\cdot h$£
Dove:
- £$p$£ è la pressione del fluido, espressa in Pascal, £$[Pa]$£
- £$\varrho$£ è la densità del fluido, espressa in £$[\frac{kg}{m^{3}}]$£
- £$V$£ è la velocità del fluido, espressa in £$[\frac{m}{s}]$£
- £$g$£ è l’accelerazione di gravità uguale a £$9.81 [\frac{m}{s^{2}}]$£
- £$h$£ è la quota a cui si trova il fluido, espressa in metri, £$[m]$£
Il teorema di Bernoulli afferma dunque che la somma dei termini di pressione, velocità e quota di un fluido (tutti opportunamente riportati alla stessa unità di misura) si conserva nel passaggio da uno stato ad un altro.
I due principi possono essere utilizzati insieme nella definizione di un dato problema fluidodinamico. £$Q = V\cdot A$£ Ricavando la velocità a partire dalle condizioni geometriche e di portata del flusso, è poi possibile utilizzare la stessa per poter ricavare le altre forme di energie del fluido.
Teorema di Bernoulli: applicazioni pratiche
Siccome il teorema di Bernoulli afferma che i tre termini visti fino ad ora possano aumentare e/o diminuire il loro valore mantenendo però sempre costante la loro somma, possiamo immaginare un caso pratico in cui uno dei tre termini diminuisca, lasciando spazio ad uno degli altri di aumentare. Consideriamo per semplicità un caso in cui la pressione del fluido non varia, sono solo quota e velocità a modificarsi. Tra lo stato iniziale rappresentante l’acqua appena al di fuori del filtro e quello finale dell’acqua appena prima di cadere nel lavandino, non si ha variazione di pressione. Apriamo semplicemente il rubinetto di acqua e osserviamo come essa scorre. Essa risulta infatti pari al valore atmosferico in entrambi i punti.
Ciò che cambia tra lo stato 1 e lo stato 2 è che, appena fuori dal filtro, l’acqua ha una quota potenziale maggiore di quella posseduta nello stato 2. Come conseguenza, la velocità del fluido risulterà maggiore nello stato finale, per sopperire alla minore quota.
Occupiamoci ora delle applicazioni del teorema di Bernoulli. Pensiamo ad esempio ad un uragano. Quindi cosa succede? La spiegazione sta nel fatto che fuori casa il vento soffia ad altissima velocità, mentre l’aria interna alla casa è statica e la sua velocità è praticamente nulla. Il tetto subisce quindi una differenza di pressione tale che lo spinge dall’interno verso l’alto. Anche qui l’equazione di Bernoulli ci dà una risposta. All’interno della doccia l’aria calda ed il vapore sono leggeri e vanno verso l’alto, l’aria all’esterno della doccia è ferma.
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