Nelle correnti a superficie libera si può individuare una condizione critica caratterizzata dal fatto che, in corrispondenza di questa, le grandezze del moto assumono valori e significato specifici. In particolare, si definisce altezza (o profondità) critica, ycr, cioè l’altezza d’acqua che si verifica quando il numero di Froude è uguale a 1. Si definisce inoltre energia specifica e altezza critica, dove α è un coefficiente che dipende dalla effettiva distribuzione della velocità nel piano della sezione.

È immediato osservare che la funzione E=E(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. A titolo di esempio, si riporta in figura l’andamento della funzione E=E(y) per una stessa portata (Q = 50 m3/s) e relativamente a due sezioni rettangolari di larghezza 20 m e 10 m. Si osserva che, a portata costante, l’energia specifica ha un minimo proprio in corrispondenza dell’altezza critica di ciascuna sezione.

La pendenza critica, icr, è definita come la pendenza dell’alveo in corrispondenza della quale, per una data portata, l’altezza critica e l’altezza di moto uniforme coincidono. Se l’alveo è dotato di pendenza if > icr allora per la data portata l’altezza yu del moto uniforme sarà minore di quella critica (corrente veloce). Viceversa, se if < icr allora, sempre per la data portata, il moto uniforme si realizza con un’altezza d’acqua maggiore di quella critica (corrente lenta). In tal caso l’alveo viene definito alveo fluviale. Si noti che la pendenza critica risulta funzione della portata; risulta infatti che icr diminuisce all’aumentare della portata.

La formula 4.7 indica in sostanza che il carico totale della corrente diminuisce sempre nel verso della corrente. La formula 4.7 viceversa non è valida per condizioni di moto rapidamente variato (rapidly varied flow) in cui variazioni di profondità, di larghezza e quindi di velocità della corrente si manifestano in brevi tratti del corso d’acqua. Quando il moto è gradualmente variato è lecito esprimere le perdite distribuite con le formule valide per il moto uniforme. Questa condizione rappresenta una singolarità di tipo matematico che tuttavia è associata a fenomeni fisici importanti nello studio delle correnti a superficie libera.

La formula 4.10 non ci consente infatti di studiare tali fenomeni: via via che la profondità d’acqua tende al valore critico, le variazioni della stessa altezza d’acqua tendono a diventare grandissime in breve spazio. In tale condizione la formula 4.9 tende a perdere di validità in quanto derivata sotto l’ipotesi di moto gradualmente variato.

Profili di Corrente in Alvei Fluviali e Torrentizi

Negli alvei declivi fluviali, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: F1, F2 e F3.

  • Profilo F1: è caratterizzato da una corrente con profondità maggiore di quella uniforme. Il livello imposto a valle costituisce la condizione al contorno relativa a questo profilo di corrente lenta che si raccorda al moto uniforme asintoticamente verso monte.
  • Profilo F2: la profondità della corrente è compresa tra la profondità critica e quella di moto uniforme. Il profilo risulta pertanto di corrente lenta e si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi raccordarsi con la profondità di moto uniforme a monte.
  • Profilo F3: la profondità è inferiore a quella critica. Questo profilo risulta l’unico profilo di corrente veloce in un alveo fluviale. Il profilo si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte per poi tendere alla profondità critica con un asintoto verticale.

Negli alvei declivi torrentizi, oltre al profilo di corrente uniforme, si distinguono 3 profili: T1, T2 e T3.

  • Profilo T1: la profondità della corrente è ovunque maggiore di quella critica. La corrente è pertanto lenta, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a valle per poi tendere alla profondità critica a monte con un asintoto verticale. La corrente risulta ritardata essendo caratterizzata da profondità (velocità media) crescenti (decrescenti) verso valle.
  • Profilo T2: la profondità della corrente è compresa tra la profondità di moto uniforme e la profondità critica. Il profilo è di corrente veloce, si sviluppa a partire da una condizione al contorno posta a monte e si raccorda verso valle con la profondità di moto uniforme.
  • Profilo T3: la profondità è ovunque inferiore alla profondità di moto uniforme. Il profilo è di corrente veloce, nasce da un tirante inferiore alla profondità di moto uniforme imposto a monte e si raccorda alla profondità di moto uniforme verso valle.

Gli alvei orizzontali o acclivi non hanno una profondità di moto uniforme; quest’ultima tende ad assumere valori infinitamente grandi quando if tende a 0.

  • I profili al di sopra della profondità critica (H1 e A1) sono di corrente lenta, si sviluppano a partire da un livello imposto a valle maggiore di quello relativo alla profondità critica e crescono verso monte in modo analogo a quanto visto nel profilo F2.
  • I profili al di sotto della profondità critica (H2 e A2) sono di corrente veloce, si sviluppano a partire da un livello imposto a monte minore a quello relativo alla profondità critica, e crescono verso valle tendendo asintoticamente alla profondità critica in modo analogo a quanto osservato per il profilo F3.

I profili di moto permanente derivano dall’equazione della formula 4.7 che rappresenta un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Il tracciamento quantitativo del profilo della corrente dipende da come vengono specificate queste “condizioni di moto”.

Condizioni al Contorno e Propagazione delle Perturbazioni

Nelle correnti veloci la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti solo verso valle. Nelle correnti lente la causa perturbatrice fa risentire i suoi effetti sia verso monte sia verso valle.

Riassumendo: il tronco fluviale oggetto di simulazione in moto permanente è delimitato da una sezione iniziale a monte e da una sezione finale a valle. La condizione di portata (costante per tutto il tronco) viene posta nella sezione di monte. La procedura numerica di risoluzione della formula 4.7 procederà quindi in direzione monte - valle se la corrente è veloce (propagazione delle perturbazioni verso valle), in direzione valle - monte se la corrente è lenta (propagazione delle perturbazioni verso monte). L’equazione differenziale della formula 4.7 viene risolta per via numerica. Sulla base delle sezioni trasversali rilevate, l’alveo risulta così suddiviso in tronchi elementari compresi tra due sezioni consecutive, che indicheremo con (i) la sezione di monte e (i+1) quella di valle.

Salto di Fondo e Rigurgito

Il salto di fondo costituisce un disturbo per la corrente in quanto modifica (o non consente) l’altezza di moto uniforme. Se consideriamo una corrente che a monte del salto scorre in un alveo fluviale (cioè con pendenza del fondo inferiore alla pendenza critica, ifsalto libero e il profilo che ne deriva è del tipo F2. La distanza Ar viene detta ampiezza di rigurgito.

Se il livello Ym nel ricevente aumenta e supera il livello dell’altezza critica, la corrente a monte continua a raggiungere il ricevente con un profilo tipo F2 diminuendo tuttavia la distanza Ar. Una volta superato anche il livello della yu, a monte si genera un profilo di rigurgito tipo F1, che si estende a monte per una distanza (in teoria infinita) Ar.

Nel primo caso la corrente che si instaura a valle dello sbocco è una corrente lenta che risente delle caratteristiche dell’alveo a valle (sezione, pendenza, scabrezza) per trovare l’altezza di moto uniforme conseguenti. Nel caso dello sbocco in un alveo torrentizio, la corrente tenderà ad assumere un’altezza di moto uniforme che, per definizione, è minore dell’altezza critica.

In prossimità della sezione iniziale la corrente è libera di far transitare la massima portata compatibile con il livello nel serbatoio raggiungendo la altezza critica. In queste condizioni l’equazione della formula 4.7 non è più valida. In generale si può assumere che nel moto rapidamente accelerato le perdite energetiche siano trascurabili. Ciò non è più lecito nel caso di moto rapidamente decelerato.

Risalto Idraulico

Il risalto può presentarsi con forme diverse in relazione al valore del numero di Froude della corrente di monte. In particolare se la corrente di monte è caratterizzata da un Froude inferiore a circa 1.7, il risalto si manifesta attraverso una serie di ondulazioni della superficie libera. In caso contrario si realizza il salto diretto o salto di Bidone costituito dalla formazione di un vortice ad asse orizzontale (roller) che dissipa una quantità di energia non trascurabile.

Il risalto si localizza quando la spinta totale associata alla corrente veloce in arrivo da monte è uguale alla spinta totale della corrente lenta di valle. La spinta totale S della corrente in una sezione è definita come la somma della spinta idrostatica, pari al prodotto tra la pressione idrostatica nel baricentro della sezione e la superficie della sezione stessa, e del flusso della quantità di moto, quest’ultimo pari a ρQU. Si noti che la grandezza spinta totale ha le dimensioni di una forza.

Analogamente a quanto visto per la funzione carico specifico E(y) a portata fissata, la funzione S=S(y) tende a infinito sia per y → 0 sia per y → ∞. Pertanto deve avere un minimo. Lo studio della funzione ci rivela che tale minimo esiste e si trova in corrispondenza dell’altezza critica.

Il risalto si localizza dove la spinta totale della corrente di monte Sm uguaglia la spinta totale di valle Sv; in queste condizioni ym e yv rappresentano la profondità della corrente nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del risalto. Le profondità ym e yv sono dette altezze coniugate del risalto.

Transizioni tra Alvei Fluviali e Torrentizi

Il deflusso della corrente in alveo costituito da due tronchi cilindrici di uguale sezione trasversale ma di diversa pendenza presenta diverse configurazioni.

Nel caso in cui si realizzi il passaggio da un alveo fluviale a uno torrentizio, la corrente passa gradualmente dal regime lento a quello veloce transitando attraverso la profondità critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza. Si noti che nell’alveo fluviale si realizza un profilo F2, mentre in quello torrentizio si realizza un profilo T2; la condizione al contorno relativa a entrambi i profili è costituita dalla profondità critica.

Nel caso di passaggio da un alveo torrentizio a un alveo fluviale si assiste all’incontro tra una corrente veloce a monte e una lenta a valle. Questo passaggio avviene a mezzo di un risalto idraulico che si localizza nella sezione dove avviene l’uguaglianza delle spinte totali.

  • Nella figura 15a la spinta totale associata al moto uniforme nel tronco di valle è maggiore della spinta totale relativa al moto uniforme nel tronco di monte. Il risalto infatti avviene nel tronco di monte. Si noti la formazione di un profilo T1 di corrente lenta proveniente da valle nel tratto torrentizio, che si raccorda a mezzo di un risalto con il profilo di moto uniforme di tipo veloce proveniente da monte.
  • Nel caso in cui la spinta totale della corrente in moto uniforme nel tronco di monte sia maggiore di quella relativa alla corrente di valle, il risalto si localizza nel tratto di valle (figura 15b). Si noti la formazione di profilo di corrente veloce F3 nel tratto fluviale.

Restringimenti Dovuti a Pile di Ponti

Il restringimento provocato dalle pile di un ponte in un alveo cilindrico può considerarsi debole se la corrente è in grado di defluire attraverso le pile senza attraversare lo stato critico. Per semplicità lo studio viene affrontato nell’ipotesi che il passaggio tra le pile avvenga senza sensibile dissipazione di energia. Lo studio viene inoltre affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame.

Il restringimento provoca un aumento della portata per unità di larghezza; ne consegue un aumento dell’energia minima necessaria per far defluire la portata assegnata tra le pile del ponte. Se il restringimento della sezione è ‘rilevante’ può accadere che il carico Eu sia insufficiente per superare l’ostacolo, in tal caso si parla di restringimento ‘forte’.

Nel caso in cui venga soddisfatta questa condizione, nel tronco ristretto la corrente diminuisce la profondità mantenendosi nello stato lento. Se il restringimento è rilevante la corrente non è in grado di defluire attraverso le pile del ponte con i valori del carico specifico imposti dal moto uniforme.

In questi condizioni la corrente deve risparmiare energia al fine di poter presentarsi nel tratto ristretto con il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata. Il deflusso avviene nel tronco ristretto attraverso il passaggio delle condizioni critiche; immediatamente a monte si realizza un innalzamento dei livelli che dà origine ad un profilo di corrente lenta del tipo F1 nel caso fluviale o di tipo T1 nel caso torrentizio; a valle si realizza un profilo di corrente veloce del tipo F3 nel caso fluviale o di tipo T3 nel caso torrentizio.

Nel caso fluviale, a monte del tronco a sezione ridotta si instaura un profilo F1 che si raccorda gradualmente con il profilo di moto uniforme. A valle del restringimento il profilo di corrente veloce F3 si raccorda con il moto uniforme per mezzo di un risalto. Dal punto di vista energetico, la corrente assume il carico specifico minimo necessario per il passaggio della portata assegnata nel tronco ristretto; in assenza di dissipazioni tale carico specifico si conserva nelle sezioni immediatamente a monte e a valle del tratto a sezione ridotta.

Deflusso Sopra una Traversa

Il deflusso di una corrente sopra una traversa dipende, per assegnata portata, dal tipo di alveo (fluviale, torrentizio) e dalle dimensioni della soglia. Lo studio viene affrontato in assenza di controlli al contorno del tratto in esame.

La progettazione di ogni opera che interagisce con l'alveo fluviale richiede di operare verifiche tecniche dell'impatto che l'opera stessa genera sulla corrente idrica. Questa verifica spesso richiede il tracciamento del cosiddetto "profilo del pelo libero", ovvero il profilo longitudinale dell'altezza della superficie libera della corrente idrica.

Software per il Tracciamento dei Profili del Pelo Libero

Il tracciamento dei profili del pelo libero, per correnti gradualmente variate in condizioni di moto permanente e vario, può essere risolto utilizzando un software appropriato. Il più noto è probabilmente HEC-RAS, un pacchetto libero sviluppato dall'US Army Corps of Engineers. La disponibilità di algoritmi automatici di calcolo rende meno utile che in passato la conoscenza dei metodi di calcolo dei profili del pelo libero. Tuttavia, è necessario valutare con molta attenzione la risposta fornita dal software, operazione che si riesce a condurre solamente se si è in grado di elaborare a priori, sulla base di esperienza ed intuizione, un andamento atteso del profilo di corrente. Questa operazione è possibile solo se si ha padronanza della teoria.

Condizioni e Considerazioni Tecniche

Il tracciamento dei profili del pelo libero può essere eseguito in condizioni generali, nelle quali il moto può essere permanente o vario, in presenza di alveo prismatico con sezione trasversale rettangolare oppure con qualsivoglia geometria.

  1. In quanto segue si assumerà che la corrente idrica si muova in condizioni di moto permanente ed in alveo prismatico (o alveo cilindrico), caratterizzato cioè da sezione trasversale la cui geometria rimane invariante al variare dell'ascissa fluviale. Si farà inoltre riferimento al caso di sezione trasversale compatta, ovvero quella nella quale la velocità è distribuita in modo pressochè uniforme sulla sezione.
  2. ove le derivate sono ora totali essendosi annullata la dipendenza dal tempo. la quale permette di trarre alcune prime importanti considerazioni. Innanzitutto, si osserva che la portata assume dunque valore costante nello spazio e nel tempo, ed appare quindi la necessità di specificarla a priori, circostanza che ci porta a dedurre che essa debba essere specificata quale condizione al contorno. Si ricorda, infatti, che le condizioni iniziali, per le variabili di una equazione differenziale, sono date dai valori delle variabili stesse all'istante iniziale t = 0, mentre le condizioni al contorno sono date dai valori delle variabili al contorno del volume di controllo, ovvero, nel nostro caso, per le sezioni fluviali trasversali iniziale e finale del tronco d'alveo considerato. In condizioni di moto permanente devono essere specificate solo le condizioni al contorno, fra le quali è compreso quindi il valore della portata fluviale, che rappresenta una condizione al contorno di tipo cinematico. La seconda considerazione che si può trarre dall'equazione (2) innanzi presentata è che la corrente accumula (ovvero risparmia) energia quando la pendenza di fondo è superiore alla cadente del carico totale. Una terza considerazione si deduce osservando che ci siamo ricondotti ad una sola equazione differenziale, la (2) ovvero l'equazione dinamica, che è pure un'equazione di bilancio energetico nell'ipotesi di corrente gradualmente variata nella quale ci stiamo muovendo, che occorrerà quindi integrare per ricavare l'andamento di h, ovvero l'andamento del profilo del pelo libero. L'equazione dinamica presenta due incognite, le stesse del sistema delle equazioni di De Saint Venant, ovvero una geometrica rappresentata dall'altezza idrica h ed una cinematica rappresentata dalla velocità v. Tuttavia, nota la portata, che come abbiamo visto dovremo specificare quale condizione al contorno, la velocità v risulta univocamente legata all'altezza idrica h dalla relazione Q = v(h) * A(h).
  3. Per meglio comprendere dal punto di vista tecnico il problema del tracciamento dei profili del pelo libero in condizioni di moto permanente, è importante ricordare che un'equazione differenziale descrive gli incrementi delle variabili in gioco, piuttosto che direttamente il valore delle variabili stesse. Una volta noti detti incrementi, sarà necessario sommarli, ovvero integrarli, per ottenere il valore della variabile, in questo caso l'altezza idrica h. Per questo motivo è quindi necessario integrare l'equazione differenziale. E' però necessario specificare il valore di partenza della variabile, ovvero il valore al contorno del volume di controllo al quale sommare tutti i successivi incrementi. Assodato quindi che è necessario speficare una condizione al contorno, ovvero un valore appropriato dell'altezza idrica h, per poter integrare l'equazione del moto permanente che fornisce il profilo del pelo libero, ed assodato anche che questa condizione dovrà essere esplicitata fornendo un valore dell'altezza idrica h per la sezione fluviale di monte oppure la sezione fluviale di valle, si pone ora l'interessante interrogativo se l'altezza idrica al contorno debba essere specificata a monte o a valle.

Corrente Lenta vs. Corrente Veloce e Perturbazioni

È stato già ricordato qui che in condizioni di moto permanente le perturbazioni di livello indotte sulla corrente possono propagarsi verso monte solo in presenza di corrente lenta (o corrente che diviene lenta a causa della perturbazione) mentre si propagano verso valle solo in presenza di corrente veloce.

La prima delle due affermazioni precedenti è ovvia, poichè abbiamo ricordato qui che la velocità delle perturbazioni è maggiore della velocità della corrente se questa è lenta, e quindi le perturbazioni possono risalire una corrente lenta. La seconda delle due affermazioni, ovvero che le perturbazioni di livello possono propagarsi verso valle solo in presenza di corrente veloce, è meno ovvia, poichè l'intuizione potrebbe suggerire che le perturbazioni di livello in una corrente lenta, così come possono propagarsi verso monte, possono propagarsi anche a valle.

Ipotizziamo quindi che una corrente lenta, che viaggia in condizioni di moto uniforme, sia disturbata da una perturbazione che abbia provocato un innalzamento del pelo libero verso valle, ove avremmo quindi un'altezza idrica superiore a quella di moto uniforme. Detto innalzamento dovrebbe attenuarsi verso valle, in accordo alla tendenza della corrente a ristabilire condizioni di moto uniforme.

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